SISITEM PERSAMAAN LINIER TIGA VARIABEL
ax + by + cz = d
dengan a,b,c,dan d
adalah bilangan real dan a ≠
0, b ≠
0, c ≠
0
Penyelesaian
dari persamaan ax + by + cz = d diperoleh
dengan memberi nilai sembarang
terhadap dua variabelnya dan
kemudian menentukan nilai variabel ketiga.
B. Penyelesaian/Solusi SPLTV
Bentuk umum
SPLTV dengan variabel x, y, dan z adalah :
𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑥1𝑧 = 𝑑1
𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑥2𝑧 = 𝑑2
𝑎3 𝑥 + 𝑏3 𝑦 + 𝑥3𝑧 = 𝑑1
v
Metode Substitusi
Metode
substitusi akan efektif dipakai apabila sistem persamaan linier sangat
sederhana dan salah satu koefisien variabel dalam persamaan adalah ± 1.
1. Tentukan himpunan
penyelesaian dari sistem :
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = −6 … . . (1)
𝑥 − 2𝑦 +
𝑧 = 3 … . . (2)
−2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 9 … . . (3)
Pembahasan :
Persamaan (1) dapat diubah menjadi 𝑧 = −𝑥 − 𝑦 − 6 … (4)
Substitusi persamaan (4) ke persamaan (2), diperoleh
𝑥 − 2𝑦 + (−𝑥 − 𝑦 − 6) = 3
𝑥 − 2𝑦 − 𝑥 − 𝑦 −
6 = 3
𝑥 − 𝑥 − 2𝑦 − 𝑦 − 6 = 3
−3𝑦 = 3 + 6
−3𝑦 = 9
−3
y = -3
Substitusikan persamaan (4) ke persamaan (3),
−2𝑥 + 𝑦 + (−𝑥 − 𝑦 − 6) = 9
−2𝑥 − 𝑥 + 𝑦 − 𝑦 − 6 = 9
−3𝑥 + −6 = 9
−3𝑥 = 9 + 6
−3𝑥 = 15
−3
2. Tentukan nilai x
yang memenuhi SPLTV
3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = -3 (1)
5𝑦 − 2𝑧 = 2 ... (2)
5𝑧 = 20 .. .(3)
Pembahasan
Persamaan (3)
5𝑧 = 20
Z = 4
Substitusi nilai z
= 4 kepersamaan (2)
5𝑦 − 2𝑧 = 2
5𝑦
− 2(4) = 2
5𝑦 − 8 = 2
5𝑦
= 2 + 8
5𝑦
= 10
𝑦 = 2
Substitusi nilai z
= 4 dan y = 2 ke persamaan (1)
3𝑥 + 2𝑦 −
𝑧 = −3
3𝑥
+ 2(2) − 4 = −3
3𝑥 + 4 − 4 = −3
3𝑥
+ 0 = −3
3
x = -1
Jadi
nilai x = -1 Soal latihan
1. Nilai (x-y) yang memenuhi SPLTV berikut adalah.....
𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 2 3𝑦 − 4𝑧 = −5
6𝑧 = 3
2. Tentukan nilai x, y, dan z dari SPLTV berikut !
2𝑥 + 𝑦 = 11
3𝑦 − 𝑧 = 5
𝑥 + 2𝑧 = 1
v
Metode eliminasi-substitusi
Penyelesaian
persamaan linier dengan tiga variabel dapat diselesaikan dengan :
· Kita eliminasikan
sebuah varibel sebuah variabel dari
dua persamaan
· Selesaikan
hasil yang diperoleh yaitu sistem persamaan dengan dua variabel dengan metode
substitusi atau eliminasi atau eliminasi-substitusi
· Substitusikan
variabel-variabel yang diperoleh pada langkah ke-2 kepersamaan awal untuk
memperoleh nilai variabel lainnya.
Contoh Soal
Tentukan nilai x,
y dan z yang merupakan penyelesaian dari SPLTV berikut
𝑥 − 𝑦 − 𝑧
= 4 .....
(1)
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = −4 .....(2)
Pembahsan
Persamaan (1)
dan (2) untuk menghilangkan z
𝑥 − 𝑦 − 𝑧
= 4
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = −4
+
2𝑥 + 𝑦 = 0 .... (4)
Persamaan (1) dan
(3) untuk menghilangkan z
𝑥 − 𝑦 − 𝑧
= 4
𝑥 + 𝑦 − 𝑧
= 0
--
2𝑦 = 4
𝑦 = 2
Sudah diperoleh
persamaan (4) dan nilai y = 2, sehingga bisa kita substitusikan persamaan (4)
dan nilai y=2
2𝑥 + 𝑦 =
0
2𝑥 + 2 = 0
2𝑥
= −2
𝑥 = −1
Diperoleh nilai x = -1 dan y
= 2 untuk memperoleh nilai z maka kita substitusikan nilai-nilai tersebut ke
pesamaan (1)
𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 4 (−1) −
(2) − 𝑧 = 4
−1 − 2 − 𝑧 = 4
−3
− 𝑧
= 4
−𝑧 = 4 + 3
𝑧 = −7
Jadi diperoleh
nilai 𝑥 = −1, 𝑦 = 2 𝑑𝑎𝑛
𝑧 = −7
Selesaikan
sistem persamaan di bawah ini dan tulis himpunan penyelesaiannya ! 1. 𝑥 − 𝑦 +
2𝑧
= −5
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = −1
𝑥 + 𝑦 −
𝑧 = 3
2. 𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 = 9
2𝑥 + 4𝑦 − 2𝑧 = −9
3𝑥 − 2𝑦 + 5𝑧 = 12
Komentar
Posting Komentar